... la (pantalla) que tengo ahora mismo es ésta.

Bueno, en realidad no es la de la imagen.
Se ve que esa es la imagen que puso el vendedor en la página del artículo, pero el artículo en sí es ligeramente distinto:

De hecho, si se va a las características, en la descripción del artículo:
Caracterí­sticas:
    Pantalla LCD, 16 caracteres y 2 líneas
    Alimentación 5V
    Controlador compatible HD44780
    Adaptador II2C PCF8574T
    Fondo azul retroiluminado, letras en blanco
    Incluir un pin de contraste ajustable
    Dimensiones (mm): 80 x 36 x 19


Esta es la foto del adaptador que viene en cuestión:


He visto otro tuto por ahí y supuestamente también va directo sin resistencias y a 5V.
(Edito: en el tuto que he visto usaban el modelo  PCF8574, sin la T)
(Aquí otro tuto con el mismo controlador)
Lo cual no hace más que aumentar la duda sobre qué es lo que me está fallando.
Está la diferencia de que tú lo tienes soldado con estaño y yo lo tengo con pegamento conductor, pero me parece muy raro que sea ese el problema. Parece que este pegamento da buen resultado con estos voltajes. Por cierto, por si a alguien le interesa, es este.

Lo único que se me ocurre ahora es que pueda haber habido un cortocircuito al haber contactado ligeramente el pegamento con el polo politivo y/o negativo de las bases para led (sin leds) que hay alrededor y aún habiéndolo limpiado después, ya se haya/n estropeado el/los gpios.
No me queda prácticamente más remedio que probar el otro router.

(Edito: en el tuto que he visto usaban el modelo  PCF8574, sin la T)

Gracias por la sugerencia. Yo de esto no tengo prácticamente ni idea. Me he limitado a seguir el tutorial de raphik.

El Santo Grial está en que hay distinto para que a él le salga el texto brillante después de hacer el init, pero a mí me sale súper tenue, casi invisible.

Acabo de probar a poner un sleep 10 (para estar seguro de que no me quedaba corto) entre comandos de init y tampoco; nada.

Cuando pruebe lo de soldar los cables... ya veré si consigo algo distinto. Me gustaría quemar todos los cartuchos antes de tirar la toalla.

He preguntado en un foro de arduino a ver qué me dicen.

Para mí: O son estas pantallas mías, que son defectuosas (o distintas), aunque parecen ser las mismas que usa raphik, mismo chip y tal.
O bien, falla algo en los comandos esos de inicialización, esas secuencias que se le envían de valores en hexadecimal...

Seguiré investigando hasta que me harte o se me acaben las opciones y lo deje en un expediente X, o bien hasta que dé en el clavo del problema.

Lo del contraste dudo mucho que tenga algo que ver. Se maneja igual que el de raphik, con un potenciómetro a modo de "tornillo" de estrella. Aunque sí que es raro, que el mío al máximo sale más tenue que el suyo, pero aún así, no parece tener nada que ver; ya que en el primer ejemplo que pongo, cuando muestro texto en la pantalla, SIN inicializar, salen caracteres raros, pero en un brillo PERFECTO. En cambio, cuando inicializo la pantalla, sale ya el texto correcto, pero es como si ese brillo se apagara y ya casi no se ve el texto. Este finde probaré con otro router idéntico y soldando los cables. Todo lo demás lo haré exactamente igual, para respetar las condiciones iniciales del experimento. Aunque una prueba ideal sería yo probar la pantalla de raphik o bien, él probar la mía (o ambas opciones). Eso nos daría más pistas sobre cuál puede ser el problema.